Question

18．函数y=$\frac{2+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}$的值域为（-∞，-1）∪[$\frac{2}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 将原函数变成y=$-1+\frac{5}{3-\sqrt{x}}$，这样根据$0≤\sqrt{x}＜3，或\sqrt{x}＞3$即可得出$\frac{5}{3-\sqrt{x}}$的范围，从而得出y的范围，即得出原函数的值域．

解答 解：$y=\frac{2+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}=\frac{-（3-\sqrt{x}）+5}{3-\sqrt{x}}=-1+\frac{5}{3-\sqrt{x}}$；
$0≤\sqrt{x}＜3，或\sqrt{x}＞3$；
∴$0＜3-\sqrt{x}≤3，或3-\sqrt{x}＜0$；
∴$\frac{1}{3-\sqrt{x}}≥\frac{1}{3}$，或$\frac{1}{3-\sqrt{x}}＜0$；
∴$y≥\frac{2}{3}$，或y＜-1；
∴原函数的值域为（-∞，-1）∪[$\frac{2}{3}$，+∞）．
故答案为：$（-∞，-1）∪[\frac{2}{3}，+∞）$．

点评 考查值域的概念，分离常数求函数值域的方法，不等式的性质：同向的不等式取倒数时，不等号改变．