题目内容
【题目】已知圆:
和点
,动圆
经过点
且与圆
相切,圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)点是曲线
与
轴正半轴的交点,点
,
在曲线
上,若直线
,
的斜率分别是
,
,满足
,求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)分析条件可得圆心满足条件
>
,从而可得曲线E是M,N为焦点,长轴长为
的椭圆,可得椭圆的方程;(2)设直线
的方程为
,代入椭圆方程消去x整理得到关于y的方程,进一步可得
,由
可求得
,从而
,从而
可得
,从而可得三角形面积的最大值。
试题解析:
(1)由题意得圆的圆心为
,半径为
,
点在圆
内,因为动圆
经过点
且与圆
相切,所以动圆
与圆
内切。
设动圆半径为
,则
.
因为动圆经过点
,所以
,
>
,
所以曲线E是M,N为焦点,长轴长为的椭圆.
设椭圆的方程为
则,
∴,
∴曲线的方程为
.
(2)当直线的斜率为0时,不合题意;
设直线的方程为
,
由消去x整理得
,
设,
则,
由条件得点A坐标为(1,0),
∵,
∴
=.且
,
∴,
解得,
故直线BC过定点(2,0),
由,解得
,
∴
,当且仅当
时取等号。
综上面积的最大值为
.
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