Question

15．若方程ae^x-x=0有两个不相等的实根，则a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{e}$）
• C． （$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）=ae^x -x 有2个不同的零点．由函数f（x）=0，求得a=$\frac{x}{{e}^{x}}$．利用导数求得a的最大值为$\frac{1}{e}$，且$\underset{lim}{x→-∞}\frac{x}{{e}^{x}}$=-∞，$\lim_{x→+∞}\frac{x}{{e}^{x}}$=0，可得a的取值范围．

解答 解：令函数f（x）=ae^x -x，则由题意可得f（x）有2个不同的零点．
∴由函数f（x）=ae^x-x=0，求得a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，令g′（x）=0，求得x=1，
在（-∞，1）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数；在（1，+∞）上g′（x）＜0，g（x）为减函数，
故g（1）=$\frac{1}{e}$为g（x）的最大值．
且$\underset{lim}{x→-∞}\frac{x}{{e}^{x}}$=-∞，$\lim_{x→+∞}\frac{x}{{e}^{x}}$=0．
再根据f（x）有2个不同的零点，可得0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故选：B．

点评 本题考查了利用方程的根，函数的交点，求解函数的零点问题，利用导数求解问题，属于中档题