题目内容
【题目】如图,在平面四边形中,
等边三角形,
,以
为折痕将
折起,使得平面
平面
.
(1)设为
的中点,求证:
平面
;
(2)若与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)推导出平面
,从而
,再求出
,由此能证明
平面
.
(2)由平面
,知
即为
与平面
所成角,从而在直角
中,
,以
为坐标原点,分别以
,
所在的方向作为
轴、
轴的正方向,建立空间直角坐标系
.利用向量法能求出二面角
的余弦值.
证明:(1)因为平面平面
,
平面平面
,
平面
,
,
所以平面
.
又平面
,所以
.
在等边中,因为
为
的中点,所以
.
因为,
,
,
所以平面
.
(2)解:由(1)知平面
,所以
即为
与平面
所成角,
于是在直角中,
.
以为坐标原点,分别以
,
所在的方向作为
轴、
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.
设等边的边长为
,
则,
,
,
,
,
,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
令,则
,
,于是
.
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
解得,令
,则
,于是
.
所以.
由题意知二面角为锐角,所以二面角
的余弦值为
.
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