题目内容
【题目】如图为某大河的一段支流,岸线近似满足
∥
宽度为7
圆
为河中的一个半径为2
的小岛,小镇
位于岸线
上,且满足岸线
现计划建造一条自小镇
经小岛
至对岸
的通道
(图中粗线部分折线段,
在
右侧),为保护小岛,
段设计成与圆
相切,设
(1)试将通道的长
表示成
的函数,并指出其定义域.
(2)求通道的最短长.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1) 过点作
于
点,以
为原点,建立如图所示的直角坐标系,先求出
,
再求出,即可求出
,再求函数的定义域.(2)利用导数求函数的最小值,即得通道ABC的最短长.
(1)过点作
于
点,
因为与
的距离为
,
所以,
以为原点,建立如图所示的直角坐标系,
因为,所以设
,
则直线的方程为
,即
因为与圆
相切,圆
的半径为
,
所以,
因为,所以
,
即,
所以,
由于,所以
,
令,
则因为函数在
上单调递减,所以
,
即函数的定义域为
.
(2
令,得
,则
,其中
,且
.
由,得
,
0 | + | ||
极小值 |
所以当时,
,
即通道的最短长为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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