Question

8．解下列三角方程：
（1）方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=0在x∈[0，π]上的解为$\frac{2π}{3}$；
（2）cos²x-sin²x=$-\frac{1}{2}$；
（3）tan（x-$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{3}$，在区间（-2π，2π）内的解．

Answer 1

分析 （1）由已有可得tanx=-$\sqrt{3}$，又由x∈[0，π]，可得答案；
（2）由已知可得cos2x=$-\frac{1}{2}$，结合特殊角的余弦函数，可得答案；
（3）由已知可得tanx=-$\sqrt{3}$，结合x∈（-2π，2π），可得答案．

解答 解：（1）若sinx+$\sqrt{3}$cosx=0，则sinx=-$\sqrt{3}$cosx，
则tanx=-$\sqrt{3}$，
又∵x∈[0，π]，
故x=$\frac{2π}{3}$；
（2）cos²x-sin²x=cos2x=$-\frac{1}{2}$，
则2x=$\frac{2π}{3}$+2kπ，或2x=$\frac{4π}{3}$+2kπ，k∈Z，
解得：x=$\frac{π}{3}$+kπ，或x=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
（3）tan（x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{tanx-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanx}$=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
解得：tanx=-$\sqrt{3}$，
又由x∈（-2π，2π），
故x=$-\frac{4π}{3}$，或x=$-\frac{π}{3}$，或x=$\frac{2π}{3}$，或x=$\frac{5π}{3}$，
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查的知识点是三角函数的化简求解，熟练掌握三角函数的定义，是解答的关键．