题目内容
3.设X为随机变量,从棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点,当四点共面时,X=0;当四点不共面时,X的值为四点组成的四面体的体积(1)求X=0的概率;
(2)求X的分布列,并求其数学期望.
分析 (1)求出从正方体的八个顶点中任取四个点,共有${C}_{8}^{4}$=70种情况,当四点共面时,共有12种情况,即可由概率公式求得概率.
(2)四点不共面时,四面体的体积有以下两种情况:①四点在相对面且异面的对角线上;②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,求出相应的概率,从而求出随机变量的分布列与数学期望.
解答 解:(1)从棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点,共有${C}_{8}^{4}$=70种情况,当四点共面时,共有12种情况,
∴P(X=0)=$\frac{12}{70}$=$\frac{6}{35}$.
(2)四点不共面时,四面体的体积有以下两种情况:
①四点在相对面且异面的对角线上,体积为a3-4×$\frac{1}{6}$a3=$\frac{1}{3}$a3,这样的取法共有2种;
②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为$\frac{1}{6}$a3,这样的取法共有70-12-2=56种.
∴X的分布列为
X | 0 | $\frac{1}{3}$a3 | $\frac{1}{6}$a3 |
P | $\frac{6}{35}$ | $\frac{1}{35}$ | $\frac{28}{35}$ |
点评 本题考查概率的计算,考查离散型随机变量的分布列与期望,求概率是关键.
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