题目内容
【题目】已知椭圆的焦距为
,且
,圆
与
轴交于点
,
,
为椭圆
上的动点,
,
面积最大值为
.
(1)求圆与椭圆
的方程;
(2)圆的切线
交椭圆
于点
,
,求
的取值范围.
【答案】(1)圆的方程为
,椭圆
的方程为
.;(2)
.
【解析】分析:(1)由题意结合几何关系得到关于a,b,c的方程组,求解方程组可得,
,
.则圆
的方程为
,椭圆
的方程为
.
(2)①当直线的斜率不存在时,计算可得
.
②当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
利用圆心到直线的距离等于半径可得
,联立直线与椭圆方程可得
,由弦长公式有
.令
,换元后结合二次函数的性质可得
.则
的取值范围是
.
详解:(1)因为,所以
.①
因为,所以点
为椭圆的焦点,所以
.
设,则
,所以
.
当时,
,②
由①,②解得,所以
,
.
所以圆的方程为
,椭圆
的方程为
.
(2)①当直线的斜率不存在时,不妨取直线
的方程为
,解得
.
②当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
.
因为直线与圆相切,所以
,即
,
联立,消去
可得
,
.
=
=.
令,则
,所以
=
,
所以=
,所以
.
综上,的取值范围是
.
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