Question

【题目】数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示：

中学	甲	乙	丙	丁
人数	30	40	20	10

为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．
（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？
（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；
（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为 ，
所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3．
（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A，
从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有 种，
来自同一所中学的取法共有 ．
所以 ．
答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为 ．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．
依题意得，X的可能取值为0，1，2，
，
，
．
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P

【解析】（Ⅰ）四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值 ，由此能求出甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数．（Ⅱ）从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有 种，来自同一所中学的取法共有 ，由此能求出从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率． （Ⅲ）依题意得，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
【考点精析】解答此题的关键在于理解分层抽样的相关知识，掌握先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本，以及对离散型随机变量及其分布列的理解，了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．