题目内容
【题目】已知函数,
(
为自然对数的底数).
(1)若函数的图象在
处的切线方程为
,求
,
的值;
(2)若时,函数
在
内是增函数,求
的取值范围;
(3)当时,设函数
的图象
与函数
的图象
交于点
、
,过线段
的中点
作
轴的垂线分别交
、
于点
、
,问是否存在点
,使
在
处的切线与
在
处的切线平行?若存在,求出
的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),
;(2)
;(3)不存在.
【解析】试题分析:
(1)利用导函数与切线的关系得到方程,解方程可得,
;
(2)函数为增函数,则即
在
内恒成立,处理恒成立问题可得
的取值范围是
;
(3) 假设在点
处的切线与
在点
处的切线平行,则
,
①,讨论可得矛盾,假设不成立,
故在点
处的切线与
在点
处的切线不平行.
试题解析:(1)当时,
,导数
,
,
即函数的图象在
处的切线斜率为
,切点为
,
函数
的图象在
处的切线方程为
,
,
,
,
;
(2)时,函数
在
的解析式是
,
导数,
函数
在
内是增函数,
即
在
内恒成立,
,
时,
.
,故
的取值范围是
;
(3)假设在点
处的切线与
在点
处的切线平行,
设点,
,
,
则由题意得点、
的横坐标与中点
的横坐标相等,且为
,
时,
,
,
在点
处的切线斜率为
,
由于两切线平行,则,
即,则两边同乘以
,得,
,
,
,
设,则
,
①,
令,
,则
,
,
,
在
上单调递增,
,
,这与①矛盾,假设不成立,
故在点
处的切线与
在点
处的切线不平行.
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