Question

【题目】一个多面体的直观图及三视图如图所示，分别是的中点.

（I）求证：平面；

（II）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（I）由直观图及三视图可知，该几何体为直三棱柱，底面为直角三角形，因此两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，证明即可；（II）求平面的法向量，平面的法向量，然后计算出的值，通过观察图形确定二面角的余弦值与关系即可.

试题解析：（I）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，，且 ……………………………1分

因此两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ……………………………2分

则由已知可得：，

故，

……………………………3分

即 4分

即,

而平面，平面，

平面.……………………………6分

（II）解：设是平面的一个法向量，则

，，，

，

令，可得，

，……………………………2分

由已知可得平面，

是平面的一个法向量，…………………………10分

设二面角的平面角为，则有：，

所求二面角的余弦值是.…………………………12分