Question

13．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（-x），当x∈（0，1）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}|\frac{1}{2}-x|，x≠\frac{1}{2}}\\{0，x=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，则f（x）在区间（1，$\frac{3}{2}$）内是（　　）

• A． 增函数且f（x）＞0
• B． 增函数且f（x）＜0
• C． 减函数且f（x）＞0
• D． 减函数且f（x）＜0

Answer 1

分析 根据条件可以判断出f（x）是周期为2的周期函数，并且x$∈（\frac{1}{2}，1）$时，$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-\frac{1}{2}）$，从而可以得到f（x）=f（x-2）=-f（2-x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-\frac{1}{2}）$，而$2-x∈（1，\frac{3}{2}）$，可换元，令2-x=t，从而求出f（t）即得出x$∈（1，\frac{3}{2}）$的解析式，从而可以判断此时的f（x）的单调性及其符号．

解答 解：由f（x）为奇函数，f（x+1）=f（-x）得，f（x）=-f（x+1）=f（x+2）；
∴f（x）=f（x+2）；
∴f（x）是周期为2的周期函数；
根据条件，x$∈（\frac{1}{2}，1）$时，$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-\frac{1}{2}）$；
∴$x-2∈（-\frac{3}{2}，-1）$，-（x-2）$∈（1，\frac{3}{2}）$；
∴$f（x）=f（x-2）=-f（2-x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-\frac{1}{2}）$；
设2-x=t，t$∈（1，\frac{3}{2}）$，x=2-t；
∴$-f（t）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{3}{2}-t）$；
∴$f（t）=-lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{3}{2}-t）$；
∴$f（x）=-lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{3}{2}-x）$，$x∈（1，\frac{3}{2}）$；
可以看出x增大时，$\frac{3}{2}-x$减小，$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{3}{2}-x）$增大，f（x）减小；
∴在区间（1，$\frac{3}{2}$）内，f（x）是减函数；
而由$1＜x＜\frac{3}{2}$得0$＜\frac{3}{2}-x＜\frac{1}{2}$；
∴$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{3}{2}-x）＞1$；
∴f（x）＜0．
故选：D．

点评 考查奇函数的定义，周期函数的定义，以及换元法求函数解析式，减函数的定义，以及对数函数的单调性，不等式的性质．