题目内容
4.已知命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+$\frac{1}{16}$a)的定义域为R;命题q:?x∈R,x2+4x+a<0,如果命题p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.分析 若命题p是真命题,则当a=0时,不满足条件,舍去;当a≠0时,$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{4}<0}\end{array}\right.$;解得a范围.若命题q是真命题,则△<0,解得a范围.若p∨q为真,p∧q为假,则p与q必然一真一假.即可得出.
解答 解:命题p:函数f(x)=lg(ax2-x+$\frac{1}{16}$a)的定义域为R,当a=0时,不满足条件,舍去;当a≠0时,$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{4}<0}\end{array}\right.$,解得a>2;
命题q:?x∈R,x2+4x+a<0,则△=16-4a>0,解得a<4.
如果命题p或q为真,p且q为假,
则p与q必然一真一假.
∴$\left\{\begin{array}{l}{a>2}\\{a≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a<4}\end{array}\right.$,
解得a≥4或a≤2.
∴实数a的取值范围是{a|a≥4或a≤2}.
点评 本题考查了对数化为的单调性、二次函数的取值与判别式的关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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13.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(-x),当x∈(0,1)时,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}|\frac{1}{2}-x|,x≠\frac{1}{2}}\\{0,x=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,则f(x)在区间(1,$\frac{3}{2}$)内是( )
A. | 增函数且f(x)>0 | B. | 增函数且f(x)<0 | C. | 减函数且f(x)>0 | D. | 减函数且f(x)<0 |