Question

【题目】在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程并指出其形状；

（2）设是曲线上的动点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）直接根据极坐标和直角坐标方程互化公式求解得到其直角坐标方程,然后,再将其化为标准方程即可判断其形状；（2）依据曲线的参数方程,可以设该点的三角形式 ,然后 ,借助于三角函数的有界性求最值.

试题解析：（1）由ρ2－4ρcos＋7＝0可得ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，化为直角坐标方程得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即（x－2）2＋（y－2）2＝1，它表示以（2,2）为圆心，以1为半径的圆．

（2）由题意可设x＝2＋cosθ，y＝2＋sinθ，则t＝（x＋1）（y＋1）＝（3＋cosθ）（3＋sinθ）＝9＋3（sinθ＋cosθ）＋sinθcosθ.

令sinθ＋cosθ＝m，平方可得1＋2sinθcosθ＝m2，

所以sinθcosθ＝，t＝9＋3m＋＝m2＋3m＋（－≤m≤）．由二次函数的图象可知t的取值范围为.