题目内容
16．已知数列{an}中，an＞0，且3an+12=an（an-2an+1），a1=1．（1）求证：数列{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若bn=$\frac{1}{n}$（log3a1+log3a2+…+log3an），且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最大值．
分析 （1）由3an+12=an（an-2an+1），因式分解为（3an+1-an）（an+1+an）=0，由于an＞0，可得an+1=$\frac{1}{3}{a}_{n}$，即可证明；
（2）由（1）可得log3an=1-n．可得bn=$\frac{1}{n}$[（1-1）+（1-2）+…+（1-n）]=$\frac{1-n}{2}$，由bn≥0，解得n≤1，即可得出数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
解答 （1）证明：由3an+12=an（an-2an+1），化为（3an+1-an）（an+1+an）=0，
∵an＞0，
∴3an+1-an=0，即an+1=$\frac{1}{3}{a}_{n}$，
∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{3}$．
∴an=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
（2）解：由（1）可得log3an=$lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n-1}$=1-n．
∴bn=$\frac{1}{n}$（log3a1+log3a2+…+log3an）=$\frac{1}{n}$[（1-1）+（1-2）+…+（1-n）]=$\frac{1}{n}[n-\frac{n（n+1）}{2}]$=1-$\frac{n+1}{2}$=$\frac{1-n}{2}$，
由bn≥0，解得n≤1，
∴当n=1时，Tn取得最大值0．
点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、对数的运算性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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