Question

20．曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a（a＞1）的点的轨迹，给出下列四个结论：
①曲线C关于坐标轴对称；
②曲线C上的点都在椭圆$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{a-1}=1$外；
③曲线C上点的横坐标的最大值为$\sqrt{a+1}$；
④若点P在曲线C上（不在x轴上），则△PF₁F₂的面积不大于$\frac{1}{2}a$．
其中，所有正确结论的序号是①②③．

Answer 1

分析 由题意曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．

解答 解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a²，把方程中的x被-x代换，y被-y代换，方程不变，故曲线C关于坐标轴对称，故正确；
对于②，PF₁+PF₂≥2$\sqrt{P{F}_{1}•P{F}_{2}}$=2$\sqrt{a}$＞2，∴曲线C上的点都在椭圆$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{a-1}=1$外，故正确；
③令y=0可得，x=±$\sqrt{a+1}$，∴曲线C上点的横坐标的最大值为$\sqrt{a+1}$；
由题意知点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积S_△F1PF2=$\frac{1}{2}$×2×y=y，由①知y²=-x²-1+$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$或y²=-x²-1-$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$（舍去），令$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$=t，则x²=$\frac{{t}^{2}-{a}^{2}}{4}$，∴y²=-$\frac{{t}^{2}-{a}^{2}}{4}$-1+t=-$\frac{1}{4}$（t-2）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$≤$\frac{{a}^{2}}{4}$，∴S_△F1PF2²=y²≤$\frac{1}{2}$a，P在x轴上时取等号，故不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．