题目内容

11.已知F1、F2是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线交椭圆于A、B两点,且AF2=2F2B,tan∠AF1B=$\frac{3}{4}$,则该椭圆的离心率等于$\frac{\sqrt{5}}{3}$.

分析 如图所示,tan∠AF1B=$\frac{3}{4}$,可得cos∠AF1B=$\frac{4}{5}$.设|BF2|=m,则|AF2|=2m.由椭圆的定义可得:|AF1|=2a-2m,|BF1|=2a-m.在△ABF1中,由余弦定理可得:$\frac{4}{5}$=cos∠AF1B=$\frac{(2a-2m)^{2}+(2a-m)^{2}-(3m)^{2}}{2×(2a-2m)(2a-m)}$,化为m=$\frac{a}{3}$.在Rt△AF1F2中,利用勾股定理即可得出.

解答 解:如图所示,
tan∠AF1B=$\frac{3}{4}$,∴cos∠AF1B=$\frac{4}{5}$.
设|BF2|=m,则|AF2|=2m.
由椭圆的定义可得:|AF1|=2a-2m,|BF1|=2a-m.
在△ABF1中,由余弦定理可得:$\frac{4}{5}$=cos∠AF1B=$\frac{(2a-2m)^{2}+(2a-m)^{2}-(3m)^{2}}{2×(2a-2m)(2a-m)}$,
化为m=$\frac{a}{3}$.
∴|AF1|=2a-2m=$\frac{4a}{3}$,|BF1|=2a-m$\frac{5a}{3}$,AB=3m=a.
∴$|AB{|}^{2}+|A{F}_{1}{|}^{2}=|B{F}_{1}{|}^{2}$,
∴A=90°.
在Rt△AF1F2中,由勾股定理可得:$(\frac{4a}{3})^{2}+(\frac{2a}{3})^{2}=4{c}^{2}$,
化为$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$=e.
故答案为:$\frac{\sqrt{5}}{3}$.

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理与勾股定理,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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