Question

16．已知函数f（x）=log₂x+2x-1．
（1）用定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）判断函数f（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，得到f（x₁）-f（x₂）=（log₂x₁-log₂x₂）+2（x₁-x₂），从而证明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）可以得到$f（\frac{1}{2}）=-1＜0，f（1）=1＞0$，f（x）在定义域内单调递增，从而得出f（x）在定义域（0，+∞）内只有一个零点．

解答 解：（1）证明：设x₁＞x₂＞0，则：
f（x₁）-f（x₂）=log₂x₁+2x₁-log₂x₂-2x₂=（log₂x₁-log₂x₂）+2（x₁-x₂）；
∵x₁＞x₂＞0；
∴log₂x₁＞log₂x₂，log₂x₁-log₂x₂＞0，且x₁-x₂＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上为增函数，且$f（1）=1＞0，f（\frac{1}{2}）=-1＜0$；
∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．

点评 考查增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），对数函数的单调性，以及函数零点的定义，及函数零点个数的判断方法．