Question

6．已知函数$f（x）=1+\frac{a}{{{2^x}+1}}（{a∈R}）$．
（1）当a=-2时，求f（x）的反函数；
（2）当a≥9时，证明函数g（x）=f（x）+2^x在[0，1]上是减函数．

Answer 1

分析 （1）a=-2时，得到$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，可设y=f（x），从而可以得到${2}^{x}=\frac{1+y}{1-y}$，进一步得到$x=lo{g}_{2}\frac{1+y}{1-y}$，并可以得到y∈（-1，1），x换y，y换x从而便可得出f（x）的反函数；
（2）先得出$g（x）=\frac{a}{{2}^{x}+1}+{2}^{x}+1$，根据减函数的定义，设任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式便可得到$g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）=（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）[1-\frac{a}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}]$，从而证明g（x₁）＞g（x₂）便可得出g（x）在[0，1]上为减函数．

解答 解：（1）a=-2时，$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，设y=f（x），则：
${2}^{x}=\frac{1+y}{1-y}$；
∴$x=lo{g}_{2}\frac{1+y}{1-y}$；
又${2}^{x}=\frac{1+y}{1-y}$＞0；
解得-1＜y＜1；
∴${f^{-1}}（x）={log_2}\frac{1+x}{1-x}（{x∈（{-1，1}）}）$；
（2）证明：$g（x）=\frac{a}{{2}^{x}+1}+{2}^{x}+1$；
设x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，则：
$g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）=\frac{a}{{2}^{{x}_{1}}+1}+{2}^{{x}_{1}}-\frac{a}{{2}^{{x}_{2}}+1}-{2}^{{x}_{2}}$=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）[1-\frac{a}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}]$；
∵0≤x₁＜x₂≤1，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，4＜$（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）＜9$；
又a≥9；
∴$1-\frac{a}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}＜0$；
∴g（x₁）＞g（x₂）；
∴当a≥9时，函数g（x）=f（x）+2^x在[0，1]上是减函数．

点评 考查反函数的概念及其求法，分式不等式的解法，指数函数的值域，指数函数的单调性，不等式的性质，以及减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较g（x₁），g（x₂）的大小，作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式．