Question

6．如图，已知瞭望塔BA的高度为40m，为测得古塔DC的高度，在B处望占塔的顶部，仰角是60°，在A处再次望古塔的顶部，仰角为45°．
（1）求古塔DC的高度；
（2）试确定在瞭望塔的某个位置（线段BA上）P，使得观察古塔DC的视角∠CPD最大？

Answer 1

分析 （1）利用正切函数，即可得出结论；
（2）利用和角的正切函数，即可得出结论．

解答 解：（1）设BD=xm，则CD=$\sqrt{3}$x，
∴$\sqrt{3}$x-x=40，
∴x=$\frac{40}{\sqrt{3}-1}$=20（$\sqrt{3}$+1），
∴CD=20（3+$\sqrt{3}$）m；
（2）设BP=am，则tan∠CPQ=$\frac{20（3+\sqrt{3}）-a}{20（\sqrt{3}+1）}$，tan∠DPQ=$\frac{a}{20（\sqrt{3}+1）}$，
∴tan∠CPD=$\frac{\frac{20（3+\sqrt{3}）-a}{20（\sqrt{3}+1）}+\frac{a}{20（\sqrt{3}+1）}}{1-\frac{20（3+\sqrt{3}）-a}{20（\sqrt{3}+1）}•\frac{a}{20（\sqrt{3}+1）}}$=$\frac{400（4\sqrt{3}+6）}{[a-10（3+\sqrt{3}）]^{2}+300（4+2\sqrt{3}）}$，
∴a=40m，即P在A处，观察古塔DC的视角∠CPD最大．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．