Question

12．某省气象部门为了有效缓解近期的持续高温天气，拟进行人工降雨，为了达到理想效果，首先在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：

方式	实施地点	大雨	中雨	小雨	模拟试验总次数
A	甲	4次	6次	2次	12次
B	乙	3次	6次	3次	12次
C	丙	2次	2次	8次	12次

假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响．
（Ⅰ）求甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率；
（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲恰需中雨即能达到理想状态，乙必须是大雨才能达到理想状态，丙是小雨或中雨就能达到理想状态，求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨”为事件A，利用互斥事件的概率的乘法求解即可．
（Ⅱ）甲、乙、丙三地能达到理想状态的概率，记降雨量达到理想状态的地方个数为ξ，则ξ可能的取值为0，1，2，3．求出概率，得到分布列，然后求解期望．

解答 解：（Ⅰ）记“甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨”为事件A，
则P（A）=$\frac{6}{12}×\frac{6}{12}×\frac{8}{12}=\frac{1}{6}$…（5分）
故甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率为$\frac{1}{6}$．…（6分）
（Ⅱ）甲、乙、丙三地能达到理想状态的概率分别为$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\frac{5}{6}$．记降雨量达到理想状态的地方个数为ξ，则ξ可能的取值为0，1，2，3．分布列如下：…（7分）

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{3}{48}$	$\frac{19}{48}$	$\frac{21}{48}$	$\frac{5}{48}$

…（10分）
故ξ的期望为$E（ξ）=0×\frac{3}{48}+1×\frac{19}{48}+2×\frac{21}{48}+3×\frac{5}{48}=\frac{19}{12}$…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，互斥事件概率的乘法的应用，考查计算能力．