题目内容

12.某省气象部门为了有效缓解近期的持续高温天气,拟进行人工降雨,为了达到理想效果,首先在电脑上进行人工降雨模拟试验,准备用A,B,C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其试验数据统计如下:
方式实施地点大雨中雨小雨模拟试验总次数
A4次6次2次12次
B3次6次3次12次
C2次2次8次12次
假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响.
(Ⅰ)求甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率;
(Ⅱ)考虑到旱情和水土流失,如果甲恰需中雨即能达到理想状态,乙必须是大雨才能达到理想状态,丙是小雨或中雨就能达到理想状态,求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望.

分析 (Ⅰ)记“甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨”为事件A,利用互斥事件的概率的乘法求解即可.
(Ⅱ)甲、乙、丙三地能达到理想状态的概率,记降雨量达到理想状态的地方个数为ξ,则ξ可能的取值为0,1,2,3.求出概率,得到分布列,然后求解期望.

解答 解:(Ⅰ)记“甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨”为事件A,
则P(A)=$\frac{6}{12}×\frac{6}{12}×\frac{8}{12}=\frac{1}{6}$…(5分)
故甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率为$\frac{1}{6}$.…(6分)
(Ⅱ)甲、乙、丙三地能达到理想状态的概率分别为$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{5}{6}$.记降雨量达到理想状态的地方个数为ξ,则ξ可能的取值为0,1,2,3.分布列如下:…(7分)

ξ0123
 P$\frac{3}{48}$$\frac{19}{48}$$\frac{21}{48}$$\frac{5}{48}$
…(10分)
故ξ的期望为$E(ξ)=0×\frac{3}{48}+1×\frac{19}{48}+2×\frac{21}{48}+3×\frac{5}{48}=\frac{19}{12}$…(12分)

点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,互斥事件概率的乘法的应用,考查计算能力.

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