Question

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，如果a₁=$\frac{1}{3}$，S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n，那么a_n=$\frac{n（n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 通过S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n与S_n-1=$\frac{n+1}{3}$a_n-1作差、整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，进而可知$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-2}$、$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}=\frac{n-1}{n-3}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{3}{1}$，利用累乘法计算即得结论．

解答 解：∵S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n，
∴当n≥2时，S_n-1=$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
两式相减得：a_n=$\frac{n+2}{3}$a_n-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-2}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}=\frac{n-1}{n-3}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{3}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$$•\frac{1}{3}$=$\frac{n（n+1）}{6}$，
故答案为：$\frac{n（n+1）}{6}$．

点评 本题考查数列的通项，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．