题目内容
【题目】
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（I）
（II）存在点
使得
与
的面积相等，此时点的坐标为
.
【解析】
试题（1）利用直接法设
，利用直线
与
的斜率之积等于
，得到关于
的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设
，点
的坐标分别为
三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得
和
的面积，利用
，进而得到关于
的方程，求得点的坐标为
．
试题解析：（1）点的轨迹方程为
； 5分
（2）设点的坐标为，点的坐标分别为，
则直线的方程为
，
直线的方程为
．
令
，得
，
于是
的面积
， 8分
直线
的方程为
，
，
点到直线的距离
，
于是
的面积
， 10分
当
时，得
，
又
，所以
，解得
，
因为
，所以
，
故存在点使得与的面积相等，
此时点的坐标为． 12分
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（1）求关于的回归直线方程
；
（2）若在这样本点中任取两点，求恰有一点在回归直线上的概率.
附：回归直线方程中，
，
.
