题目内容

【题目】平面直角坐标系中，过椭圆：右焦点的直线交于，两点，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先求出右焦点坐标为，结合离心率可得，求出后可得椭圆的方程.

（2）联立直线的方程和椭圆方程后可求的坐标，从而可求.设的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，消去后利用弦长公式可得，从而可得，结合的范围可求面积的最大值.

解：（1）椭圆的右焦点为，则.

离心率，则.

故，所以的方程为.

（Ⅱ）由，解得或，因此.

设直线的方程为，设，.

由得.

，故.

又的交点在之间，故.

因为直线的斜率为1，

所以.

又四边形的面积，

当时，取得最大值，最大值为，所以四边形面积的最大值为.

练习册系列答案
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平均每天锻炼的时间(分钟)

总人数

20

36

44

50

40

10

将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

课外体育不达标

课外体育达标

合计

男

女

20

110

合计

（2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量为，求的分布列和数学期望.

（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中，抽取4名学生，求其中恰好有2名学生是课外体育达标的概率.

参考公式：，其中.

参考数据：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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