题目内容
【题目】已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点,且椭圆经过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
,
两点,且以线段
为直径的圆过椭圆的右顶点
,求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)设椭圆的上下顶点为,
,左焦点为
,则
是正三角形,可得
,进而将
代入椭圆方程,可求出
的值,即可得到椭圆的方程;
(2)设直线的方程为
,与椭圆方程联立,并消去
得到关于
的一元二次方程,设
,
,由以线段
为直径的圆过椭圆的右顶点
,可得
,将其展开并结合韦达定理,可求得
,即直线
恒过点
,进而
,结合韦达定理,求出最大值即可.
(1)根据题意,设椭圆的上下顶点为,
,左焦点为
,
则是正三角形,所以
,则椭圆方程为
.
将代入椭圆方程,可得
,解得
,
.
故椭圆的方程为.
(2)由题意,设直线的方程为
,
联立,消去
得
.
设,
,则有
,
,
因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点
,所以
,
由,
,则
,
将,
代入上式并整理得
,
则,化简得
,
解得或
,
因为直线不过点
,所以
,故
.
所以直线恒过点
.
故,
设,则
在
上单调递增,
当时,
,
所以面积的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,数据如下表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间(分钟) | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
(2)从上述课外体育不达标的学生中,按性别用分层抽样的方法抽取10名学生,再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因,记所抽取的3人中男生的人数为随机变量为,求
的分布列和数学期望.
(3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况,现在从该市所有高中学生中,抽取4名学生,求其中恰好有2名学生是课外体育达标的概率.
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |