题目内容

【题目】已知函数f(x)=ax(lnx﹣1)﹣x2(a∈R)恰有两个极值点x1 , x2 , 且x1<x2 . (Ⅰ)求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若不等式lnx1+λlnx2>1+λ恒成立,求实数λ的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=ax(lnx﹣1)﹣x2(a∈R), ∴f′(x)=alnx﹣2x,
依题意得x1 , x2是alnx﹣2x=0的两个不等正实数根,
∴a≠0,
令g(x)=
当x∈(0,e)时,g′(x)>0;当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,
∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,且g(1)=0,
当x>e时,g(x)>0,
∴0< <g(e)=
解得a>2e,故实数a的取值范围是(2e,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得alnx1=2x1 , alnx2=2x2
两式相减,得a(lnx1﹣lnx2)=2(x1﹣x2),a=2
∴lnx1+λlnx2>1+λ,∴ >1+λ,∴2(x1+λx2)>a(1+λ),
∴x1+λx2 ,∴ >1+λ,
>1+λ,
∵0<x1<x2 , 令t= ∈(0,1),∴
∴(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1)<0,
令h(t)=(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1),
则h′(t)=lnt+ ﹣λ,
令I(t)=lnt+ ﹣λ,则I′(t)= = ,(t∈(0,1)),
①当λ≥1时,I′(t)<0,∴h′(t)在(0,1)上单调递减,∴h′(t)>h′(1)=0,
∴h(t)在(0,1)上单调递增,∴h(t)<h(1)=0,符合题意.
②当λ≤0时,I′(t)>0.∴h′(t)在(0,1)上单调递增,∴h′(t)<h′(1)=0,
∴h′(t)在(0,1)上单调递减,∴h(t)>h(1)=0,不符合题意
③当0<λ<1时,I′(t)>0,λ<t<1,∴h′(t)在(λ,1)上单调递增,
∴h′(t)<h′(1)=0,
∴h(t)在(λ,1)上单调递减,∴h(t)>h(1)=0,不符合题意.
综上所述,实数λ的取值范围是[1,+∞).
【解析】(Ⅰ)求出f′(x)=alnx﹣2x,a≠0, ,令g(x)= ,由此利用导数性质能求出实数a的取值范围.(Ⅱ)由(Ⅰ)得alnx1=2x1 , alnx2=2x2 , 两式相减,得a(lnx1﹣lnx2)=2(x1﹣x2),a=2 ,从而 >1+λ,令t= ∈(0,1),得(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1)<0,令h(t)=(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1),则h′(t)=lnt+ ﹣λ,令I(t)=lnt+ ﹣λ,则I′(t)= = ,(t∈(0,1)),由此利用分类讨论思想,结合导数性质能求出实数λ的取值范围.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

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