题目内容
【题目】已知下列两个命题,命题甲:平面α与平面β相交;命题乙:相交直线l,m都在平面α内,并且都不在平面β内,直线l,m中至少有一条与平面β相交.则甲是乙的( )
A.充分且必要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由题意此问题等价于判断:①命题:已知相交直线和
都在平面
内,且都不在平面
内,若
,
中至少有一条与
相交,则平面
与平面
相交;②命题:已知相交直线
和
都在平面
内,并且都不在平面
内,若
与
相交,则
,
中至少有一条与
相交这两个命题的真假;分别判断分析可得答案.
解:由题意此问题等价于判断
①命题:已知相交直线和
都在平面
内,且都不在平面
内,若
,
中至少有一条与
相交,则平面
与平面
相交,
②命题:已知相交直线和
都在平面
内,并且都不在平面
内,若
与
相交,则
,
中至少有一条与
相交的真假;
对于①命题此处在证明必要性,因为平面内两相交直线
和
至少一个与
相交,不妨假设直线
与
相交,交点为
,则
属于
同时属于
面,所以
与
有公共点,且由相交直线
和
都在平面
内,并且都不在平面
可知平面
与
必相交故①命题为真
对于②命题此处在证充分性,因为平与
相交,且两相交直线
和
都在平面
内,且都不在平面
内,若
,
都不与
相交,则
,
平行平面
,那么
,这与
相交矛盾,故②命题也为真.
故选:A.
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