题目内容
如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥面ABCD，且SA=AB，M、N分别为SB、SD中点，求证：
（1）DB∥平面AMN．
（2）SC⊥平面AMN．
（1）DB∥平面AMN．
（2）SC⊥平面AMN．
证：（1）∵M，N分别为SB，SD的中点
∴MN∥BD∵MN?面AMN，BD?面AMN
∴BD∥平面AMN
（2）∵SA⊥平面ABCD，AC⊥BD
∴SC⊥BD∴SC⊥MN
又∵CD⊥AD，SA⊥CD
∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥AN，
又AN为等腰直角三角形SAD斜边中线，所以AN⊥SD
∴AN⊥平面SCD∴AN⊥SC
∴SC⊥平面AMN．
∴MN∥BD∵MN?面AMN，BD?面AMN
∴BD∥平面AMN
（2）∵SA⊥平面ABCD，AC⊥BD
∴SC⊥BD∴SC⊥MN
又∵CD⊥AD，SA⊥CD
∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥AN，
又AN为等腰直角三角形SAD斜边中线，所以AN⊥SD
∴AN⊥平面SCD∴AN⊥SC
∴SC⊥平面AMN．
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