Question

14．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x，把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α-x）=g（α+x）成立，则g（α+$\frac{π}{4}$）+g（$\frac{π}{4}$）=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的恒等变换求得g（x）的解析式，再根据题意可得g（x）的图象关于直线x=α对称，再根据正弦函数的图象的对称性求得α的值，可得g（α+$\frac{π}{4}$）+g（$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，可得函数y=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]-$\frac{1}{2}$=sin2x-$\frac{1}{2}$的图象；
再把所得图象向上平移2个单位，得到y=g（x）=sin2x-$\frac{1}{2}$+2=sin2x+$\frac{3}{2}$的图象．
若对任意实数x，都有g（α-x）=g（α+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=α对称，
∴2α=kπ+$\frac{π}{2}$，求得α=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈z，故可取α=$\frac{π}{4}$，
∴g（α+$\frac{π}{4}$）+g（$\frac{π}{4}$）=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2}$）+$\frac{3}{2}$+sin$\frac{π}{2}$+$\frac{3}{2}$=4，
故选：A．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．