Question

17．已知圆C的圆心在y轴的负半轴上，且与x轴相切，被双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的渐近线截得的弦长为$\sqrt{3}$，则圆C的方程为（　　）

• A． x²+（y+1）²=1
• B． x²+（y+$\sqrt{3}$）²=3
• C． x²+（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3}{4}$
• D． x²+（y+2）²=4

Answer 1

分析 设出圆C的方程，求出双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的渐近线方程，利用圆被双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的渐近线截得的弦长为$\sqrt{3}$，建立方程，即可求出圆C的方程．

解答 解：设圆C的方程为x²+（y-a）²=a²（a＜0），圆心坐标为（0，a），
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，圆被双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的渐近线截得的弦长为$\sqrt{3}$，
∴$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}={a}^{2}$，
∴a=-1，
∴圆C的方程为x²+（y+1）²=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的几何性质，考查直线与圆的位置关系，正确运用勾股定理是关键．