题目内容
16.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,E为CD上一点,且DE=1,EC=2,现沿BE折叠使平面BCE⊥平面ABED,F为BE的中点.图2所示.(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)能否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$?若存在,试确定点P的位置,若不存在请说明理由.
分析 (1)根据线面垂直的判定定理即可证明AE⊥平面BCE;
(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法建立方程关系即可得到结论.
解答 (1)证明:在直角梯形ABCD中,作DM⊥BC于M,连接AE,
则CM=2-1=1,CD=DE+CE=1+2=3,
则DM=AB=$\sqrt{9-1}$=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$,
cosC=$\frac{CM}{CD}$=$\frac{1}{3}$,则BE=$\sqrt{C{E}^{2}+C{B}^{2}-2CE•CBcosC}$=$\sqrt{4+4-2×2×2×\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{16}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
sin∠CDM=$\frac{1}{3}$,
则AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}-2AD•DEcos∠ADE}$
=$\sqrt{1+1-2×1×1×\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,(2分)
∴AE2+BE2=AB2,
故AE⊥BE,且折叠后AE与BE位置关系不变…(4分)
又∵面BCE⊥面ABED,且面BCE∩面ABED=BE,
∴AE⊥面BCE…(6分)
(2)解:∵在△BCE中,BC=CE=2,F为BE的中点
∴CF⊥BE
又∵面BCE⊥面ABED,且面BCE∩面ABED=BE,
∴CF⊥面ABED,
故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
则A($\frac{2\sqrt{6}}{3}$,$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$,0),C(0,0,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),E(0,$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$,0),
易求得面ACE的法向量为$\overrightarrow{m}$=(0,$-\sqrt{2}$,1)…(8分)
假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF,
所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$,且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$,(λ∈R),
∵B(0,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,0),
∴$\overrightarrow{AB}$=(-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,0),
故$\overrightarrow{AP}$=(-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$λ,$\frac{4\sqrt{3}}{3}$λ,0),
又$\overrightarrow{CA}$=($\frac{2\sqrt{6}}{3}$,$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$,-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),
∴$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$=($\frac{2\sqrt{6}}{3}$(1-λ),$\frac{2\sqrt{3}}{3}$(2λ-1),-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),
又 $\overrightarrow{FC}$=(0,0,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),
设面PCF的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\\{\frac{2\sqrt{6}}{3}(1-λ)x-\frac{2\sqrt{3}}{3}(2λ-1)y-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\end{array}\right.$,
令x=2λ-1得$\overrightarrow{n}$=(2λ-1,$\sqrt{2}$(λ-1),0)…(10分)
∴|cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|2(λ-1)|}{\sqrt{3}•\sqrt{(2λ-1)^{2}+2(λ-1)^{2}}}$=$\frac{2}{3}$,
解得$λ=\frac{2}{3}$ …(12分)
因此存在点P且P为线段AB上靠近点B的三等分点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$.…(13分)
点评 本题主要考查空间线面垂直的判定以及空间二面角的计算和应用,建立空间坐标系利用向量法是解决本题的关键.
A. | x2+(y+1)2=1 | B. | x2+(y+$\sqrt{3}$)2=3 | C. | x2+(y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$)2=$\frac{3}{4}$ | D. | x2+(y+2)2=4 |
A. | 奇函数 | B. | 偶函数 | ||
C. | 既是奇函数,又是偶函数 | D. | 既非奇函数,又非偶函数 |