Question

10．在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．
（1）求证：DE∥面BCC₁B₁；
（2）若CB=1，$AC=\sqrt{3}$，$A{A_{\;\;1}}=\sqrt{3}$．求异面直线A₁E和CD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线定理得DE∥BC，由此能证明DE∥面BCC₁B₁．
（2）取AD的中点F，连EF，A₁F，则EF∥CD，∠A₁EF为异面直线A₁E和CD所成角（或其补角），由此能求出∠A₁EF为异面直线A₁E和CD所成角．

解答 （1）证明：∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE∥BC，…（1分）
∵BC⊆面BCC₁B₁…（3分）DE?面BCC₁B₁…（5分）
∴DE∥面BCC₁B₁…（6分）
（2）解：取AD的中点F，连EF，A₁F，
∵EF∥CD，∴∠A₁EF为异面直线A₁E和CD所成角（或其补角）…（8分）
在△A₁EF中，${A_1}E=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，$EF=\frac{1}{2}$，${A_1}F=\frac{{\sqrt{13}}}{2}$，
∴$cos∠{A_1}EF=\frac{{\sqrt{15}}}{10}$…（10分）
∴∠A₁EF为异面直线A₁E和CD所成角为$arccos\frac{{\sqrt{15}}}{10}$…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．