题目内容
4.如图,在正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是C1D的中点,P是棱CC1所在直线上的动点.则下列四个命题:①CD⊥PE②EF∥平面ABC1③${V_{P-{A_1}D{D_1}}}={V_{{D_1}-ADE}}$
④过P可做直线与正四棱柱的各个面都成等角.
其中正确命题的序号是①②③④(写出所有正确命题的序号).
分析 根据标榜的结构特征,结合线面垂直的判定与性质,面面平行的判定与性质,锥体的体积公式,直线与平面的夹角等知识点,分别判断4个结论的真假,可得答案.
解答 解:由CD⊥平面BCC1B1,PE?平面BCC1B1,故①CD⊥PE正确;
连接ED1,则EF∥BD1,故EF∥平面ABC1D1,故②EF∥平面ABC1正确;
③${V}_{P-{A}_{1}D{D}_{1}}$=$\frac{1}{6}$${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$,${V}_{{D}_{1}-ADE}$=$\frac{1}{6}$${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$,故③${V_{P-{A_1}D{D_1}}}={V_{{D_1}-ADE}}$正确;
过P做一条与以ABCD为底面的正方体的对角线平行的直线,则该直线与正四棱柱的各个面都成等角.故④正确;
故正确命题的序号为:①③④,
故答案为:①②③④.
点评 本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质,面面平行的判定与性质,锥体的体积公式,直线与平面的夹角,是立体几何知识的综合考查,难度中档.
练习册系列答案
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