题目内容
3.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{16}$=1相交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,△ABF为直角三角形,则双曲线的离心率为( )A. | 3 | B. | 2 | C. | $\sqrt{6}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
分析 先根据抛物线方程求得准线方程,代入双曲线方程求得y,根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形,进而可求得A或B的纵坐标为4,进而求得a,利用a,b和c的关系求得c,则双曲线的离心率可得.
解答 解:依题意知抛物线的准线x=-2,代入双曲线方程得
y=±$\frac{4}{a}$•$\sqrt{4{-a}^{2}}$,不妨设A(-2,$\frac{4}{a}$$\sqrt{4{-a}^{2}}$).
∵△FAB是等腰直角三角形,∴$\frac{4}{a}$$\sqrt{4{-a}^{2}}$=p=4,求得a=$\sqrt{2}$,
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+16}}{a}$=$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$=3,
故选:A.
点评 本题主要考查了双曲线的简单性质.解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形,属于中档题.
练习册系列答案
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15.设m、n是不同的直线,α、β是不同的平面,有以下四个命题:
①若m⊥n,m⊥α,则n∥α
②若n⊥β,m∥α,α⊥β,则m∥n
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β
④若m∥n,n?α,则m∥α
其中真命题的个数是( )
①若m⊥n,m⊥α,则n∥α
②若n⊥β,m∥α,α⊥β,则m∥n
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β
④若m∥n,n?α,则m∥α
其中真命题的个数是( )
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
12.已知函数f(x)=$\sqrt{a{x}^{2}+bx}$,如果对于实数a的某些值,可以找到相应正数b,使得f(x)的定义域与值域相同,那么符合条件的实数a的个数是( )
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
13.若cos($\frac{π}{3}$-2x)=-$\frac{7}{8}$,则cos($\frac{π}{6}$-x)的值为( )
A. | -$\frac{1}{4}$ | B. | ±$\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{7}{8}$ | D. | ±$\frac{7}{8}$ |