题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的最大值;
(2)函数与
轴交于两点
且
,证明:
.
【答案】(1) 函数的最大值为-1;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1)当时,求函数的导数,并求定义域内的极值点,判断极值点两侧的单调性,得到函数的最大值;(2)利用点差法得到
,再求函数的导数,并且代入求
,初步化简后采用分析法证明
,当证明到
,根据
,
,经过换元设
,转化为关于
的函数,利用导数证明函的单调性,求函数的最小值,得到不等式的证明.
试题解析:(1)当时,
,求导得
,很据定义域,容易得到在
处取得最大值,得到函数的最大值为-1.
(2)根据条件得到,
,
两式相减得,
得
因为
得
因为,所以
,要证
即证
即证,即证
设
,原式即证
,即证
构造求导很容易发现为负,
单调减,所以
得证
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