Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+bx+a}{x}$，
（1）若f（x）为奇函数，且f（1）=2，求f（x）的解析式；
（2）当b=2时，若x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）为奇函数，求出b，利用f（1）=2，求出a，即可求f（x）的解析式；
（2）当b=2时，若x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立，分离参数求最大值，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+bx+a}{x}$为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{{x}^{2}-bx+a}{-x}$=-$\frac{{x}^{2}+bx+a}{x}$，
∴b=0，
∵f（1）=2，
∴$\frac{1+a}{1}$=2，
∴a=-1，
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$；
（2）当b=2时，若x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立，
∴a＞[-（x²+2x）]_max，
∵-（x²+2x）=-（x+1）²+1≤-3，
∴a＞-3．

点评 本题考查函数的性质，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．