Question

3．已知f（x）=xlnx，g（x）=x²-x-1，若d＞f（x）-g（x），对?x∈（0，+∞）恒成立，求d的取值范围．

Answer 1

分析 构造函数xlnx-（x²-x-1），由导数求得函数h（x）的最大值，即可求d的取值范围．

解答 解：令h（x）=f（x）-g（x）=xlnx-（x²-x-1），则h′（x）=2+lnx-2x，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上是增函数；
当x∈（1，+∞）时，h″（x）=$\frac{1}{x}$-2＜0，∴h′（x）＜h′（1）=0，h（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴h（x）_max=h（1）=1，
∵d＞f（x）-g（x），对?x∈（0，+∞）恒成立，
∴d＞1．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数构造法，解答此题的关键是构造函数h（x），把问题转化为d＞h（x）_max．