题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为等腰梯形,
,其中点
在以
为直径的圆上,
,
,
,平面
平面
.
(1)证明:平面
.
(2)设点是线段
(不含端点)上一动点,当三棱锥
的体积为1时,求异面直线
与
所成角的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)利用余弦定理,由勾股定理可得,再根据面面垂直的性质可得
平面
;(2)设
,则
,由
,解得
,即点
是线段
的中点. 取
的中点为
,连接
,可证明四边形
为平行四边形,从而
,且
,可得
为异面直线
与
所成角(或补角),再利用余弦定理可得结果.
(1)连接,
,因为点
在以
为直径的圆上,所以
.
因为,所以
,
.
所以.
因为为等腰梯形,
,
所以.
又因为,
,
所以,从而得
.
又因为平面平面
,平面
平面
,
所以平面
.
(2)由(1)得,
设,则
,
所以,解得
,
即点是线段
的中点.
取的中点为
,连接
,则由(1)及条件得
,且
,
所以四边形为平行四边形,从而
,且
,
所以为异面直线
与
所成角(或补角).
因为,所以
.
因为,所以
,
所以,
所以,
即异面直线与
所成角的余弦值为
.

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