题目内容

【题目】如图,O坐标原点,从直线yx+1上的一点x轴的垂线,垂足记为Q1,过Q1OP1的平行线,交直线yx+1于点,再从P2x轴的垂线,垂足记为Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1Q1P2Q2PnQn,记Pk点的坐标为k123n,现已知x12

1)求Q2Q3的坐标;

2)试求xk1≤kn)的通项公式;

3)点PnPn+1之间的距离记为|PnPn+1|nN*),是否存在最小的正实数t,使得t对一切的自然数n恒成立?若存在,求t的值,若不存在,请说明理由

【答案】(1) Q260),Q3140);(2)1≤kn; (3)存在,

【解析】

1)首先根据OP1P2Q1,计算出Q2的坐标,再根据OP1P3Q2即可计算出Q3的坐标。

2)由Pkxkxk+1),Qk1xk10),OP1PkQk1,可得1,化为xk2xk1+2,利用配凑法即可计算出通项式,

(3)利用|PnPn+1||xn+1xn||2n+22n+1|2n,可得1

1x12,即有P122),Q120),P2x2x2+1),OP1P2Q1

可得1,解得x26,则Q260),由P264),P3x3x3+1),

OP1P3Q2,可得1,解得x314Q3140);

2)由Pkxkxk+1),Qk1xk10),

OP1PkQk1,可得

1,化为xk2xk1+2

即为xk+22xk1+2),

可得数列{xk+2}为首项是4,公比为2的等比数列,

xk+242k1

可得1≤kn

3|PnPn+1|

|xn+1xn||2n+22n+1|2n

1

假设存在最小的正实数t,使得t对一切的自然数n恒成立,

可得t,故存在这样的t,且t的最小值为

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