Question

6．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-x³]=2，则过点（1，2）且与曲线y=f（x）相切的曲线方程为y=3x-1．

Answer 1

分析 设f（x）=x³+t，求出函数的表达式，求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．

解答 解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴f（x）-x³是定值，不妨令t=f（x）-x³，
则f（x）=x³+t，且f（t）=2
即f（t）=t³+t=2，整理得（t-1）（t²+t+2）=0，
解得t=1
∴f（x）=x³+1，
则f′（x）=3x²，
设切点为（a，b），a＞0，
则对应的切线方程为y-b=3a²（x-a）
即y=3a²（x-a）+b=3a²（x-a）+a³+1
∵切线过点（1，2），
∴3a²（1-a）+a³+1=2
即3a²（1-a）+a³-1=0
即3a²（1-a）+（a-1）（a²+a+1）=0，
则（1-a）（3a²-a²-a-1）=0，
（1-a）（2a²-a-1）=0，
即（1-a）（a-1）（2a+1）=0，
解得a=1或a=$-\frac{1}{2}$（舍），
则对应的切线方程为y=3（x-1）+2=3x-1，
故答案为：y=3x-1

点评 本题主要考查导数的几何意义以及切线的求解，根据条件利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．