题目内容
【题目】如图,多面体中,平面
平面
,
,
四边形
为平行四边形.
(1)证明:;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)先通过平面平面
得到
,再结合
,可得
平面
,进而可得结论;
(2)取的中点
,
的中点
,连接
,
,以点
为坐标原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,求出平面
的一个法向量以及平面
的一个法向量,求这两个法向量的夹角即可得结果.
解:(1)因为平面平面
,交线为
,又
,
所以平面
,
,又
,
,
则平面
,
平面
,
所以,;
(2)取的中点
,
的中点
,连接
,
,则
平面
,
平面
;
以点为坐标原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系如图所示,
已知,则
,
,
,
,
,
,
则,
,
设平面的一个法向量
,
由得
令
,则
,
,
即;
平面的一个法向量为
;
.
所以二面角的余弦值为
.
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