Question

14．已知O是△ABC所在平面上一点，满足|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²，则点O（　　）

• A． 在与边AB垂直的直线上
• B． 在∠A的平分线所在直线上
• C． 在边AB的中线所在直线上
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 根据向量的减法分别设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，表示$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OC⊥AB．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$．
由|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²，
∴|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|²，化简可得$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，即（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$））•$\overrightarrow{c}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{OC}$
∴AB⊥OC．
故选A．

点评 本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．