题目内容
【题目】四棱锥P﹣ABCD中,ADBC,BC⊥CD,BC=CD=2AD=2,PD=
,侧面PBC是等边三角形.
(1)证明:PA⊥平面PBC;
(2)求BC与平面PCD所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)先证明BC⊥平面PAM,得到BC⊥PA,又PA⊥PM,根据线面垂直的判定定理证明即可;
(2)BC=2,过B作BH⊥平面PCD,连接CH,则∠BCH为BC与平面PCD所成的角,利用等体积转化法求出BH,再利用三角公式求出即可.
(1)取BC的中点M连接AM,PM,所以PM⊥BC,AM⊥BC,
PM∩AM=M,所以BC⊥平面PAM,所以BC⊥PA,所以PA⊥AD,PA=1,
所以PA2+PM2=1+3=4=AM2,得PA⊥PM,又PA⊥BC,PM∩BC=M,
故PA⊥平面PBC;
(2)BC=2,过B作BH⊥平面PCD,连接CH,则∠BCH为BC与平面PCD所成的角,
设P到底面ABCD的距离为h,h=,
由PC=CD=2,PD=,所以
=
,
由等体积法,Vp﹣BCD=VB﹣PDC,所以,得BH=
,
所以sin∠BCH=,所以cos∠BCH=
.

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