题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=(3n+Sn)对一切正整数n成立
(I)证明:数列{3+an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(II)设,求数列
的前n项和Bn;
【答案】解:(I)证明见解析,an=3();(II)
.
【解析】
(I)利用公式得出3+an的递推式,再利用定义证明,最后再求出数列的通项公式;(II)先求出数列的通项公式,然后根据通项公式特点选择错位相减法求出数列的前n项和.
解:(I)由已知得Sn=2an-3n,
Sn+1=2an+1-3(n+1),两式相减并整理得:an+1=2an+3
所以3+ an+1=2(3+an),又a1=S1=2a1-3,a1=3可知3+ a1=6,进而可知an+3
所以,故数列{3+an}是首项为6,公比为2的等比数列,
所以3+an=6,即an=3(
)
(II)
设(1)
(2)
由(2)-(1)得