题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
（
，
）的右焦点
，且椭圆过点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线
与椭圆交于
，
两点，
，
，且
的面积
.
①求证：
为定值；
②设直线
的中点
，求
的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
.
【解析】
（1）由题意可得
，
，求得
后即可得解；
（2）①当直线斜率不存在时易得
，当直线斜率存在时，设直线方程为
，可得
、
、
、
，由
可得
，再利用
化简即可得证；
②当直线的斜率不存在时，易得
；当直线斜率存在时，设直线方程为，表示出
、
后，再利用基本不等式
化简即可得解.
（1）
椭圆右焦点为
，且椭圆
过点
，
，，
，
椭圆方程为.
（2）①证明：当直线
斜率不存在时，设直线方程为
，则
，
，
易知
，
，
，
解得
，此时.
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程得
，消去
得
，
，
，
,
，
，
，
又 原点
到直线的距离
，
,
化简得
，解得，
.
综上，
为定值7.
②当直线的斜率不存在时，由①知
，
，
此时；
当直线斜率存在时，设直线方程为，由①知,
，，
，
即，
，
，
当且仅当
即
时等号成立，
当直线斜率存在时，
.
又
，
的最大值为.
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与日平均气温
（℃）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：
日平均气温（℃） | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
日用电量（ | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
（Ⅰ）求
关于的线性回归方程；
（Ⅱ）请利用（Ⅰ）中的线性回归方程预测日平均气温为12℃时的日用电量.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
.
