题目内容
【题目】试求所有由互异正奇数构成的三元集{a，b，c}，使其满足：
.
【答案】7个，
，
，
.
【解析】
据对称性，不妨设a<b<c，由于奇平方数的末位数字只具有1、5、9形式，于是
的末位数字，要么是5、5、9的形式，要么是1、9、9的形式.
又知，如果正整数n是3的倍数，那么n2必是9的倍数；如果n不是3的倍数，那么n2被3除余1.
由于2019是3的倍数，但不是9的倍数，因此奇数a、b、c皆不是3的倍数.
注意
，即奇数c≤43，而
，
即c2>673，且c不是3的倍数，故奇数c≥29.
因此奇数
.
注意如下事实：如果奇数
为两个正整数的平方和，那么偶数2N必可表为两个互异正奇数的平方和.
这是由于
，
若c=43，方程化为：
.
因此，
.
于是得两解：
.
若c=41，方程化为
.
由此得：{a，b，c}={7，17，41}.
若c=37，方程化为
，
因此，
，
得到三个解：
.
若c=35，方程化为：
.
而397是一个4N+1型的质数，它可唯一地表为两整数的平方和：
，
所以
，
得到一个解：{a，b，c}={13，25，35}
若c=31，方程化为：
，而23是4N－1型的质数，它不能表为两个正整数的平方和.
若c=29，方程化为：
，它含有4N－1型的单质因子，故不能表为两整数的平方和.
综合以上讨论，本题共有七个满足条件的互异正奇数解{a，b，c}，即为：
，，.
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