题目内容
【题目】在直角梯形
中，
，
，
，
为
的中点，如图
将
沿
折到
的位置，使
，点
在
上，且
，如图2．
求证：
平面
；
求二面角
的正切值；
在线段
上是否存在点
，使
平面
？若存在，确定的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）
为 
的中点.
【解析】
（法一）
（1）由题意可知，题图
中
，易证
，由
根据直线与平面垂直的判定定理可得
平面
；
（2）三垂线法：由
考虑在
上取一点
，使得
，从而可得
，所以
平面，过作
交
于
，连接
，
为二面角
的平面角，在
中求解即可；
（3）取中点，所以
，又由题意
，从而可得
，所以有
平面
.
（法二：空间向量法）
（1）同法一；
（2）以
为原点建立直角坐标系，易知平面
的法向为
，求平面的法向量，代入公式求解即可；
（3）由平面，所以
，利用向量数量积的坐标表示，可求出结果.
（1）证明：在题图
中，由题意可知，
，为正方形
所以在题图中，
，
，且四边形是边长为的正方形
因为
，
，所以
平面
又
平面，所以
又，所以平面
（2）在上取一点，使，连接
因为，所以
所以平面
过作交于，连接
则
平面
所以
所以为二面角的平面角，
在中，
，
，
，
即二面角的正切值为
（3）当为中点时，平面
理由如下：取的中点，连接
交于
连接
，
所以，又由题意
平面，
平面
所以平面
即当为的中点时，平面
解法二：（1）同方法一
（2）如图，以A为原点建立直角坐标系
，
，
，
，
，
易知平面的法向量为
设平面的法向量为
，且
由
，得：
令
，得：
，
；则
所以
所以
即二面角的正切值为
设存在
，使得平面
设
所以
，由平面
所以，所以
即
，即
为的中点
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