题目内容

1.函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f(x+1)=f(x-1)成立.已知当x∈[1,2]时,f(x)=logax.
( I )求x∈[-1,1]时,函数f(x)的表达式;
( II )若f(0)=1,在区间[-1,1]上,解关于x的不等式$f(x)>\frac{1}{2}$.

分析 (Ⅰ)由已知中f(x+1)=f(x-1),故可能函数是以2为周期的周期函数,又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,结合当x∈[1,2]时,f(x)=logax,我们易得,x∈[-1,1]时,函数f(x)的表达式.
(Ⅱ)由f(0)=1知a=2,得到f(x)的表达式,分类讨论,根据对数函数的单调性,即可求出.

解答 解:(Ⅰ)由函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+1)=f(x-1)成立,
可得f(x+2)=f(x),∴f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}(x+2),-1≤x≤0}\\{lo{g}_{a}(-x+2),0<x≤1}\end{array}\right.$.
(Ⅱ)由f(0)=1知a=2,
∴当-1≤x≤0时,f(x)=log2(x+2),
∴log2(x+2)>$\frac{1}{2}$=log2$\sqrt{2}$,
∴x+2>$\sqrt{2}$,
即$\sqrt{2}$-2<x≤0,
∴当0<x≤1时,f(x)=log2(-x+2),
∴log2(-x+2)>$\frac{1}{2}$=log2$\sqrt{2}$,
∴-x+2>$\sqrt{2}$,
即0<x<2-$\sqrt{2}$,
综上所述,$\sqrt{2}$-2<x<2-$\sqrt{2}$.

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用,函数的周期性,属于中档题.

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