Question

3．已知函数f（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞x³e^x．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）分别求出函数f（x）的取值范围和g（x）=x³e^x的范围，进行比较即可．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=）=2e^x-$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=2e^x-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
则f′（1）=2e-1，f（1）=2e，
则函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-2e=（2e-1）（x-1），即y=（2e-1）x+1；
（2）当x∈（0，1）时，2e^x∈（2，2e），$\frac{lnx}{x}$＜0，则-$\frac{lnx}{x}$＞0，
则f（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$＞2，
设g（x）=x³e^x．
则g′（x）=3x²e^x+x³e^x=x²e^x（3+x），
当x∈（0，1），则g′（x）＞0，即g（x）在（0，1）上为增函数，
则0＜g（x）＜e，
故当x∈（0，1）时，f（x）＞x³e^x．

点评 本题主要考查导数的几何意义以及不等式的证明，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强．