Question

15．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过原点O且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l与椭圆E相较于A、B两点，若△AFB的周长为4+$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 由椭圆的离心率结合隐含条件把椭圆方程化为x²+4y²=4b²．由题意写出直线l的方程，和椭圆方程联立后求出|AB|，再由△AFB的周长为2a+|AB|列式求得b值，则椭圆方程可求．

解答 解：∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，则a²=4b²，
∴椭圆方程为x²+4y²=4b²．
由题意知l的方程为y=$\sqrt{3}x$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4{b}^{2}}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{4{b}^{2}}{13}$，${y}^{2}=\frac{12{b}^{2}}{13}$．
∴|AB|=$2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{\frac{16{b}^{2}}{13}}=\frac{8\sqrt{13}b}{13}$．
由椭圆对称性可知：△AFB的周长为2a+|AB|=4b+$\frac{8\sqrt{13}b}{13}$=4+$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，∴b=1．
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，由椭圆对称性把△AFB的周长化为2a+|AB|是解答该题的关键所在，是中档题．